题目内容
若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)
＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)
（1）
＝1（2）见解析
＝1（2）见解析(1)由题意可知A1(－
，0)，A2(，0)，
椭圆C1的离心率e＝
.(3分)
设椭圆C2的方程为
＝1(a＞b＞0)，则b＝.
因为
＝，所以a＝2
.
所以椭圆C2的方程为＝1.(6分)
(2)设P(x0，y0)，y0≠0，则
＝1，从而
＝12－2
将x＝x0代入＝1得
＝1，从而y2＝3－
＝
，即y＝±
.
因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝
，即H(x0，)．(12分)
所以kA1P·kA2H＝
＝－1，从而A1P⊥A2H.
又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心．(16分)
，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e＝
.(3分)设椭圆C2的方程为
＝1(a＞b＞0)，则b＝.因为
＝，所以a＝2
.所以椭圆C2的方程为
＝1.(6分)(2)设P(x0，y0)，y0≠0，则
＝1，从而
＝12－2
将x＝x0代入
＝1得
＝1，从而y2＝3－
＝
，即y＝±
.因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝
，即H(x0，)．(12分)所以kA1P·kA2H＝
＝－1，从而A1P⊥A2H.又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心．(16分)
练习册系列答案
相关题目
：方程
表示焦点在y轴上的椭圆；
：双曲线
的离心率
，若
的取值范围.
（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，斜率为1的直线
与椭圆C交于不同两点M，N.
的长；
＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
＝1 
＝1 
＝1 
＝1
＋
＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝
，则C的离心率为________．
＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
的焦距为( )
为椭圆
上的一点，
，
分别为椭圆的上、下顶点，若△
的面积为6，则满足条件的点