Question

(本小题满分12分) 已知圆过两点,且圆心在上．
(1)求圆的方程；
(2)设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值．

Answer 1

(1) (x－1)²＋(y－1)²＝4. (2) S＝2＝2＝2.

试题分析：（1）根据题意，设出圆心（a,b），然后圆过两点,其中垂线必定过圆心，且圆心在上．联立直线的方程组得到交点坐标即为圆心坐标，进而两点距离公式求解半径，得到圆的方程。
（2）因为四边形PAMB的面积S＝S_△PAM＋S_△PBM=|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，根据两个三三角形的底相同，高相等，那么即可知S＝2|PA|，只需要求解切线长|PA|的最小值即可。
解：(1)设圆的方程为：(x－a)²＋(y－b)²＝r²(r>0)．
根据题意，得          ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
解得a＝b＝1，r＝2，                           ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
故所求圆M的方程为(x－1)²＋(y－1)²＝4.          ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分
(2)因为四边形PAMB的面积S＝S_△PAM＋S_△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|， 所以S＝2|PA|，     ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分而|PA|＝＝，  即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分
所以|PM|_min＝＝3，                  ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2＝2＝2. ﹍﹍﹍12分
点评：结合该试题的关键是理解圆心和半径是求解圆的方程核心，同时直线与圆相切时，构成的四边形的面积问题，能否转化为一条切线和一个半径以及一个圆心到圆外一点P的三角形的面积的最值,最终化简为只需要求解切线长|PA|的最小值即可。。