Question

19．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$（1-S_n+1）（n∈N^*），求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时可求得a₁=$\frac{2}{3}$，当n≥2时，化简可得a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，从而求通项公式；
（2）化简b_n=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$（1-S_n+1）=n+1，从而化简$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{1+n}$-$\frac{1}{n+2}$，从而利用裂项求和法求其和．

解答 解：（1）当n=1时，S₁+$\frac{1}{2}$a₁=1，
故a₁=$\frac{2}{3}$；
当n≥2时，S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1，S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-1=1，
故a_n+$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1=0，
故a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
故数列{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
故a_n=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）知，1-S_n+1=$\frac{1}{2}$•a_n+1=$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
故b_n=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$（1-S_n+1）=n+1，
故$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{1+n}$-$\frac{1}{n+2}$，
故T_n=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{1+n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及等比数列的性质应用，同时考查了对数运算的应用．