Question

【题目】已知函数 ， ，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数 在x 1处的切线方程；
（2）若存在 ，使得 成立，其中 为常数，
求证： ；
（3）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）因为 ，所以 ，故 ．

所以函数 在x 1处的切线方程为 ，

即 ．

（2）

由已知等式 得 ．

记 ，则 ．

假设 ．

①若 ，则 ，所以 在 上为单调增函数．

又 ，所以 ，与 矛盾．

②若 ，记 ，则 ．

令 ，解得 ．

当 时， ， 在 上为单调增函数；

当 时， ， 在 上为单调减函数．

所以 ，所以 ，

所以 在 上为单调增函数．

又 ，所以 ，与 矛盾．

综合①②，假设不成立，所以 ．

（3）

由 得 ．

记 ， ，

则 ．

①当 时，因为 ， ，所以 ，

所以 在 上为单调增函数，所以 ，

故原不等式恒成立．

法一：

②当 时，由（2）知 ， ，

当 时， ， 为单调减函数，

所以 ，不合题意．

法二：

②当 时，一方面 ．

另一方面， ， ．

所以 ，使 ，又 在 上为单调减函数，

所以当 时， ，故 在 上为单调减函数，

所以 ，不合题意．

综上， ．

【解析】（1.）利用积函数的导函数法则求出导函数再将x=1代入求出斜率求出切线方程。
（2.）假设 ，将 整理为 ，求导又单调性判断是否在不同点存在相同的y值
（3.）对 求导然后分 、 两种情况讨论。
【考点精析】本题主要考查了复合函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”才能正确解答此题．