Question

【题目】设函数f（x）=（x+b）lnx，g（x）=alnx+ ﹣x（a≠1），已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直．
（1）求b的值；
（2）若对任意x≥1，都有g（x）＞ ，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线x+2y=0的斜率为﹣ ，

可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）=2，

又f′（x）=lnx+ +1，即ln1+b+1=2，所以b=1

（2）解：g（x）的定义域为（0，+∞），

g′（x）= +（1﹣a）x﹣1= （x﹣1）．

①若a≤ ，则 ≤1，故当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．

所以，对任意x≥1，都有g（x）＞ 的充要条件为g（1）＞ ，即 ﹣1＞ ，

解得a＜﹣ ﹣1或 ﹣1＜a≤

②若 ＜a＜1，则 ＞1，故当x∈（1， ）时，g′（x）＜0；

当x∈（0，1），（ ，+∞）时，g′（x）＞0．

f（x）在（1， ）上单调递减，在（0，1），（ ，+∞）上单调递增．

所以，对任意x≥1，都有g（x）＞ 的充要条件为g（x）＞ ．

而g（x）=aln + + ＞ 在 ＜a＜1上恒成立，

所以 ＜a＜1）

③若a＞1，g（x）在[1，+∞）上递减，不合题意．

综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣ ﹣1）∪（ ﹣1，1）

【解析】（1）求出函数导数，由两直线垂直斜率之积为﹣1，解方程可得b；（2）求出导数，对a讨论，①若a≤ ，则 ≤1，②若 ＜a＜1，则 ＞1，③若a＞1，分别求出单调区间，可得最小值，解不等式即可得到所求范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．