Question

设数列{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n，已知a₁=1，d=2
（1）求

Sn+64

n

(n∈N*)的最小值
（2）求证：

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

5

16

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由已知和求和公式可得S_n，代入式子由基本不等式可得；（2）可得

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，代入结合消去规律可得
原式=

1

4

[

1

12

+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]，由放缩法可得．

解答：解：（1）由题意可得S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=n²，
故

Sn+64

n

=

n2+64

n

=n+

64

n

≥2

n• 64 n

=16，
当且仅当n=

64

n

，即n=8时取等号，
故

Sn+64

n

(n∈N*)的最小值为16
（2）由（1）可知

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，
故

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

=

1

4

(

1

12

-

1

32

)+

1

4

(

1

22

-

1

42

)+…+

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]
=

1

4

[

1

12

+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]＜

1

4

（

1

12

+

1

22

）=

5

16

点评：本题考查等差数列的前n项和公式，涉及基本不等式和放缩法证明不等式，属中档题．