Question

给出下列四个命题：
①已知椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆上一点，并且|PF₁|=3，则|PF₂|=1；
②双曲线C：

y2

9

-

x2

16

=1的顶点到渐近线的距离为

12

5

；
③若⊙C₁：x²+y²+2x=0；⊙C₂：x²+y²+2y-1=0，则这两圆恰有2条公切线；
④若直线l₁：a²x-y+6=0与直线l₂：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，则a=-1
其中正确命题的序号是

 

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定,直线的一般式方程与直线的垂直关系,椭圆的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①利用椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=8，即可判断①不正确；
②利用双曲线的定义可知顶点坐标为（0，±3）．渐近线方程为：y=±

3

4

x，根据点到直线的距离公式可判断②正确；
③首先将圆的方程转化为标准方程，根据圆心距与两圆半径的关系可判断两圆相交，从而可判断两圆恰有2条公切线；
④根据两直线垂直的性质可得a²•[-（a-3）]+4×（-1）=0，解方程即可判断④不正确．

解答： 解：①由椭圆

x2

16

+

y2

9

=1可得，
a=4，b=3．
由椭圆的性质可知，
|PF₁|+|PF₂|=2a=8，
若|PF₁|=3，则|PF₂|=5．
故①不正确；
②由双曲线C：

y2

9

-

x2

16

=1可得，
a=3，b=4．
∴顶点坐标为（0，±3）．
渐近线方程为：y=±

3

4

x，即3x±4y=0．
∴顶点到渐近线的距离为
d=

|±12|

32+42

=

12

5

．
故②正确．
③⊙C₁：x²+y²+2x=0可化为
（x+1）²+y²=1．
∴圆心C₁（-1，0），半径r₁=1．
⊙C₂：x²+y²+2y-1=0可化为
x²+（y+1）²=2．
∴圆心C₂（0，-1），半径r2=

2

．
∴圆心距|C₁C₂|=

2

．
∵

2

-1＜|C₁C₂|=

2

＜

2

+1
∴两圆相交．
∴两圆恰有2条公切线．
故③正确．
④∵直线l₁：a²x-y+6=0与直线l₂：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，
∴a²•[-（a-3）]+4×（-1）=0．
解得a=-1或a=2．
故④不正确．
∴正确命题的序号是②③．
故答案为：②③．

点评：本题考查椭圆、双曲线的定义及性质，两圆位置关系的判定以及两直线垂直的性质等知识，属于中档题．