Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形， ， ， 平面， ， .

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）由题意及图可得，先由条件证得，再根据，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；（2）解法一：由（1）知， ，可得出，结合平面，知两两垂直，因此可以为坐标原点，分别以， ， 所在的直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，不妨设，表示出各点的坐标，再求出两个平面的法向量的坐标，即可由公式求出二面角的余弦值；解法二：取的中点，连接，由于，因此，又平面， 平面，可证明出为二面角的平面角，再解三角形即可求出二面角的余弦值．

试题解析：（1）因为四边形是等腰梯形， ，

，所以.

又，所以，

因此， ，

又，且， 平面，

所以平面.

（2）解法一：由（1）知，所以

又平面，因此两两垂直，以为坐标原点，分别以， ， 所在的直线为轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则， ， ，

因此，

设平面的法向量为

由于，取，则，

由于是平面的一个法向量，则

所以二面角的余弦值为.

解法二：如图，取的中点，连接

由于，因此，

又平面， 平面，

所以，

由于， 平面,

所以平面，故，所以为二面角的平面角

在等腰三角形中，由于，

因此，

又，所以，

故，因此二面角的余弦值为.