题目内容

证明：已知a与b均为有理数，且 $数学公式$ 和 $数学公式$ 都是无理数，证明 $数学公式$ + $数学公式$ 也是无理数．

证明：假设 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是有理数，则（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=a-b
由a＞0，b＞0则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞0即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≠0
∴ $\text{[math]}$ ∵a，b?Q且 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ∈Q
∴ $\text{[math]}$ ∈Q即（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）∈Q
这样（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ∈Q
从而 $\text{[math]}$ ?Q（矛盾）∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是无理数
分析：本题利反证法证明：假设 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是有理数，则（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=a-b这样推出（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ∈Q，从而 $\text{[math]}$ ?Q（矛盾）最后得出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是无理数．
点评：此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．