Question

设点P是抛物线C：x²=2py（p＞0）在第一象限内的任意一点，过P作抛物线C的切线l交x轴于点M，F为抛物线C的焦点，点Q满足，若△PFQ是面积为的等边三角形，则p的值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由抛物线方程求出焦点坐标，设出动点P的坐标，利用导数求出过点P的切线的斜率，由点斜式写出切线方程，取y=0得到点M的坐标，根据给出的向量式得到M为FQ的中点，由中点坐标公式得到Q点的坐标，再由△PFQ是面积为的等边三角形列式计算p的值．
解答：解：因为抛物线C：x²=2py，所以焦点F（0，）；
设P点坐标为P（n，），
由x²=2py，得，
则．
直线PM方程为：，取y=0得与x轴交点M（，0）；
由，则M为FQ连线的中点．
由中点坐标公式可得Q（n，-）；
因为△PFQ是等边三角形，故有PQ²=PF²=FQ²．
由于S_△PFQ=，∴PF=PQ=FQ=2．
，所以n²+p²=4p．
FQ²=n²+p²=2²=4，与上式对比可知，p=1．
故答案为1．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，利用导数求过抛物线上点P的切线方程是解答该题的关键，考查了学生的计算能力．是中档题．