Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为。
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知直线y=k（x+）与抛物线C交于A，B两点，且|FA|=2|FB|，求k的值；
（3）设点P是抛物线C上的动点，点R，N在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN的面积最小值。

Answer 1

解：（1）设抛物线C的方程为y²=2px（p>0）
由，即p=1
所以抛物线C的方程为y²=2x。
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|FA|=2|FB|，
故
即
又由得
故
 
解①②③构成的方程组得x₁=1，，
又由Δ=（k²-2）²-k⁴=4-4k²>0，即-1＜k＜1，所求得的k适合，
因此所求得的k的值为。
（3）设P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b>c，
∴直线PR的方程为（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
∵圆（x-1）²+y²=1内切于△PRN，
则圆心（1，0）到直线PR的距离为1，
，化简，得
（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0
由于x₀>2，所以b，c为方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的两根，
∴
∴
∴

当且仅当x₀=4时取等号，
所以△PRN的面积最小值为8。