Question

设点P是抛物线C：x²=2py（p＞0）在第一象限内的任意一点，过P作抛物线C的切线l交x轴于点M，F为抛物线C的焦点，点Q满足

PM

=

1

2

PF

+

1

2

PQ

，若△PFQ是面积为

3

的等边三角形，则p的值为

1

．

Answer 1

分析：由抛物线方程求出焦点坐标，设出动点P的坐标，利用导数求出过点P的切线的斜率，由点斜式写出切线方程，取y=0得到点M的坐标，根据给出的向量式得到M为FQ的中点，由中点坐标公式得到Q点的坐标，再由△PFQ是面积为

3

的等边三角形列式计算p的值．

解答：解：因为抛物线C：x²=2py，所以焦点F（0，

p

2

）；
设P点坐标为P（n，

n2

2p

），
由x²=2py，得y=

x2

2p

，
则y′|x=n=

n

p

．
直线PM方程为：y-

n2

2p

=

p

n

(x-n)，取y=0得与x轴交点M（

n

2

，0）；
由

PM

=

1

2

PF

+

1

2

PQ

，则M为FQ连线的中点．
由中点坐标公式可得Q（n，-

p

2

）；
因为△PFQ是等边三角形，故有PQ²=PF²=FQ²．
由于S_△PFQ=

3

2

•

PF2

2

=

3

4

PF2=

3

，∴PF=PQ=FQ=2．
PQ2=(

n2

2p

+

p

2

)2=

(n2+p2)2

2p2

=4，所以n²+p²=4p．
FQ²=n²+p²=2²=4，与上式对比可知，p=1．
故答案为1．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，利用导数求过抛物线上点P的切线方程是解答该题的关键，考查了学生的计算能力．是中档题．