Question

18．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（　　）

• A． y=x²
• B． y=x+1
• C． y=-lg|x|
• D． y=-2^x

Answer 1

分析 选项A：y=x²在（0，+∞）上单调递增，不符合条件；
选项B：代入特殊值x=±1，可知f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；
选项C：先求出定义域，再根据奇偶性的定义，确定y=-lg|x|是偶函数，x＞0时，y=-lg|x|=-lgx单调递减，故符合条件；
选项D：代入特殊值x=±1，可知f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），故y=x+1是非奇非偶函数，不符合条件；

解答 解：选项A：f（x）=x²的定义域为R，又∵f（-x）=（-x）²=x²，∴f（-x）=f（x），即f（x）是偶函数．但y=x²在（0，+∞）上单调递增，故A不正确；
选项B：记f（x）=x+1，则f（1）=2，f（-1）=0，∵f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），∴y=x+1是非奇非偶函数，故B不正确；
选项C：定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），记f（x）=-lg|x|，
∵f（-x）=-lg|-x|=-lg|x|，∴f（-x）=f（x），即f（x）是偶函数
当x∈（0，+∞）时，y=-lgx．∵y=lgx在（0，+∞）上单调递增，∴y=-lgx在（0，+∞）上单调递减故C正确；
选项D：记f（x）=-2^x，则f（1）=-$\frac{1}{2}$，f（-1）=-2，∵f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），∴y=-2^x是非奇非偶函数，故D不正确．
故选：C．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．