Question

6．已知函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）．
（1）求函数f（x）的定义域，并证明f（x）是定义域上的奇函数；
（2）用定义证明f（x）在定义域上是单调增函数；
（3）求不等式f（x²-$\frac{3}{2}$x）+f（1-x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据函数成立的条件结合函数奇偶性的定义进行证明即可，
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可，
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化进行求解即可．

解答 解：（1）由对数函数的定义得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{x＞-1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（-1，1）．
∵f（-x）=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=lg（1+x₁）-lg（1-x₁）-lg（1+x₁）+lg（1+x₁）=lg$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴0＜1+x₁＜1+x₂，
0＜1-x₂＜1-x₁，
于是0＜$\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$＜1，0＜$\frac{1-{x}_{2}}{1-{x}_{1}}$＜1，
则0＜$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$＜1，
则lg$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），即函数在区间（-1，1）上的单调递增函数．
（3）∵f（x）在（-1，1）上是增函数且为奇函数，
则不等式f（x²-$\frac{3}{2}$x）+f（1-x）＞0可转化为f（x²-$\frac{3}{2}$x）＞-f（1-x）=f（x-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{-1＜{x}^{2}-\frac{3}{2}x＜1}\\{-1＜1-x＜1}\\{{x}^{2}-\frac{3}{2}x＞x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜2}\\{0＜x＜2}\\{x＜\frac{1}{2}或x＞2}\end{array}\right.$，即0＜x＜$\frac{1}{2}$．
故不等式f（x²-$\frac{3}{2}$x）+f（1-x）＞0的解集是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要函数奇偶性和单调性判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．考查学生的转化能力．