题目内容

15．如图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD对角线上的点，且A1P=AQ，证明：PQ∥平面BCC1B1．

分析 作PE∥A1A，连接EQ，则PE∥B1B，证明EQ∥BC，可得平面PEQ∥平面BCC1B1．即可证明结论．

解答 证明：作PE∥A1A，连接EQ，则PE∥B1B，
∵A1P=AQ，A1B=AC，
∵$\frac{{A}_{1}P}{{A}_{1}B}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，
∴EQ∥BC，
∵PE∩EQ=E，B1B∩BC=B，
∴平面PEQ∥平面BCC1B1．
∵PQ?平面PEQ，
∴PQ∥平面BCC1B1．

点评 本题考查平面与平面平行、线面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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15．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（-1，0），离心率e=$\frac{1}{2}$左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．
（I）求椭圆M的方程；
（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1-S2|的最大值，并求此时l的方程．
16．设正实数集合A={a1，a2，a3，…，an}，集合S={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}，则集合S中元素最多有$\frac{n（n-1）}{2}$个．
3．已知函数f（x）=$\frac{a}{3}{x^3}+\frac{b}{2}{x^2}-{a^2}$x（a＞0，b∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）若x1，x2是函数f（x）的两个不同的极值点，且|x1-x2|=$\sqrt{\frac{2}{a}-1}$，求实数a，b的取值范围．
10．已知${（{\frac{1}{2}}）^x}≤4$且${log_{\sqrt{3}}}x≤2$，求函数f（x）=9x-3x+1-1的最大值和最小值．
20．已知命题p：曲线y=x2+（2m-3）x+1与x轴相交于不同的两点；命题$q：\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{2}=1$表示焦点在x轴上的椭圆．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m取值范围．
7．已知a＞0，a≠1且a3＞a2，已知函数f（x）=ax在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为2，设函数$g（x）=1-\frac{2}{{{a^x}+1}}$．
（1）判断函数g（x）的奇偶性；
（2）证明：$g（{{x^2}-x+\frac{3}{4}}）≥3-2\sqrt{2}$．
4．对于曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②“1＜k＜4”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件；
③“曲线C表示双曲线”是“k＜1或k＞4”的必要不充分条件；
④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜$\frac{5}{2}$”的充要条件
其中真命题的个数为（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．将函数f（x）=sin（2x+θ）（|θ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x）、g（x）的图象都经过点P（0，$\frac{1}{2}$），则φ=$\frac{2π}{3}$．

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