Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足：，n∈N^*，且a₁=2，a₂=4．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）设c_n=a_2n-1+a_2n+1，n∈N^*，证明：{c_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_k=a₂+a₄+…+a_2k，k∈N^*，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要求a₃，a₄，a₅的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可．
（Ⅱ）化简出a_2n-1+a_2n+1，a_2n+1+a_2n+3的关系，即：c_n+1与c_n的关系，从而证明{c_n}是等比数列；就是利用（Ⅰ）的，用2n-1，2n，2n+1，替换中的n，化简出只含“a_n”的关系式，就是a_2n-1+a_2n+2a_2n+1=0，①2a_2n+a_2n+1+a_2n+2=0，②a_2n+1+a_2n+2+2a_2n+3=0，③然后推出a_2n+1+a_2n+3=-（a_2n-1+a_2n+1），得到c_n+1=-c_n（n∈N^*），从而证明{c_n}是等比数列；
（Ⅲ）先研究通项公式a_2k，推出S_k的表达式，然后计算，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据a_2k-1+a_2k+1=（-1）^k，对任意k∈N^*且k≥2，列出n个表达式，利用累加法求出a_2k=（-1）^k+1（k+3）．化简
S_2k=（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a_4k-2+a_4k）=-k，k∈N^*，，通过裂项法以及放缩法证明：．
解答：20、满分14分．
（I）解：由，
可得
又b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，
（II）证明：对任意n∈N^*，a_2n-1+a_2n+2a_2n+1=0，①2a_2n+a_2n+1+a_2n+2=0，②a_2n+1+a_2n+2+2a_2n+3=0，③
②-③，得a_2n=a_2n+3．④
将④代入①，可得a_2n+1+a_2n+3=-（a_2n-1+a_2n+1）
即c_n+1=-c_n（n∈N^*）
又c₁=a₁+a₃=-1，故c_n≠0，
因此是等比数列．
（III）证明：由（II）可得a_2k-1+a_2k+1=（-1）^k，
于是，对任意k∈N^*且k≥2，有
将以上各式相加，得a₁+（-1）^ka_2k-1=-（k-1），
即a_2k-1=（-1）^k+1（k+1），
此式当k=1时也成立．由④式得a_2k=（-1）^k+1（k+3）．
从而S_2k=（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a_4k-2+a_4k）=-k，S_2k-1=S_2k-a_4k=k+3．
所以，对任意n∈N^*，n≥2，====
对于n=1，不等式显然成立．
点评：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．赋值法是求数列前几项的常用方法，注意n=1的验证，裂项法和放缩法的应用．