Question

（本小题满分12分）

如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由；

（Ⅲ）当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）G为EC中点，理由见解析

（Ⅲ）

【解析】

证明（Ⅰ）：∵面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD,AC交于点E，

∴BD,ACBD, 

∴BD平面PAC, …………………………………………3分

∵FG平面PAC,

∴BDFG       …………………………………………4分

（Ⅱ）当G为EC中点，即AG=AC时，FG//平面PBD,  ……………………5分

理由如下：

连接PE，由F为PC中点,G为EC中点，知FG//PE，

而FG平面PBD, PE平面PBD,

故FG//平面PBD。 ……………………………8分

(Ⅲ)：作BHPC于H,连结DH,

∵面ABCD，四边形ABCD是正方形，

∴PB=PD,

又∵BC=DC,PC=PC,

∴△PCB≌△PCD,

∴DHPC,且DH=BH,

∴BHD就是二面角B-PC-D的平面角， …………………………9分

即BHD=，

∵面ABCD, ∴PCA就是PC与底面ABCD所成的角………10分

连结EH,则EHBD,BHE=,EHPC,

∴tanBHE=,而BE=EC,

∴,∴sinPCA=,∴tanPCA=,

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是…………………………12分

用向量方法：

解：以A为原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0)，

D(0,1,0),P(0,0,a)(a>0),E(),F(),G(m,m,0)(0<m<)

…………………………2分

（Ⅰ）=（-1，1，0），=（），

=-m++m-+0=0,

∴BDFG    …………………………………………4分

（Ⅱ）要使FG//平面PBD，只需FG//EP,而=(),由=可得，解得=1，m=,                      ………………………………………6分

∴G（，，0），∴，

故当AG=AC时，FG//平面PBD      …………………………8分

(Ⅲ)设平面PBC的一个法向量为=（x,y,z），则，而，，∴，取z=1,得=（a,0,1）,同理可得平面PDC的一个法向量为=（0，a,1）,

设，所成的角为，则|cos|=|cos|=,即=，∴，

∴a=1              …………………………………………………11分

∵面ABCD, ∴PCA就是PC与底面ABCD所成的角,

∴tanPCA=    ………………………………12分