Question

如图，已知椭圆C： 的左、右焦点分别为，离心率为，点A是椭圆上任一点，的周长为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点任作一动直线l交椭圆C于两点，记，若在线段上取一点R，使得，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）利用三角形的周长为及离心率可求解；（Ⅱ）利用寻找的坐标与实数之间的关系，再利用关系找到点R的坐标为（）与之间的关系，化简求解.
试题解析：（Ⅰ）∵的周长为，
∴即.         （1分）
又解得     （3分）
∴椭圆C的方程为           （4分）
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，
设其方程为
由
得            （6分）
则             （7分）
由，得
∴∴.             （8分）
设点R的坐标为（），由，
得
∴
解得     （10分）
而

∴                  （13分）
故点R在定直线上.                   （14分）