Question

已知

OA

=(2asin2x，a)，

OB

=(-1，2

3

sinxcosx+1)，O为坐标原点，a≠0，设f(x)=

OA

•

OB

+b，b＞a．
（I）若a＞0，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（II）若函数y=f（x）的定义域为[

π

2

，π]，值域为[2，5]，求实数a与b的值．

Answer 1

分析：（1）先根据三角函数的二倍角公式和两角和与差的正弦公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，将2x+

π

6

看做一个整体，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解出x的范围即可得到答案．
（2）先根据x的范围求出2x+

π

6

的范围，对a分大于0和小于0两种情况根据正弦函数的性质讨论，即可得到答案．

解答：解：（I）f(x)=-2asin2x+2

3

asinxcosx+a+b=2asin(2x+

π

6

)+b
∵a＞0，∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得函数y=f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)
（写成[kπ+

2π

3

，kπ+

7π

6

](k∈Z)也可以）
（II）x∈[

π

2

，π]时，2x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]，sin(2x+

π

6

)∈[-1，

1

2

]
当a＞0时，f（x）∈[-2a+b，a+b]∴

-2a+b=2 a+b=5

，得

a=1 b=4

，
当a＜0时，f（x）∈[a+b，-2a+b]∴

a+b=2 -2a+b=5

，得

a=-1 b=3

点评：本题主要考查三角函数的单调区间和值域的问题．一般先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再根据正弦函数的图象和性质解题．