Question

设F₁，F₂为椭圆C：+=1（m＞0）的左、右焦点，点P⊆C且
•=0，||•||=4（1）求椭圆C的方程；
（2）作以F₂为圆心，以1为半径的圆，过动点Q作圆F₂的切线，切点为且使||=||，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a²=6m²，b²=2m²，知2c²=4m²，由•=0，知|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²，由椭圆定义知，由此能得到所求的椭圆方程．
（2）由F₁（-2，0），F₂（2，0），设Q（x，y），知，（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，由此能得到所求的轨迹方程．
解答：解：（1）∵a²=6m²，b²=2m²，
∴2c²=4m²，
∵•=0，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²，
由椭圆定义知，，
∴16m²+8=24m²，
∴m²=1，
故所求的椭圆方程为．
（2）由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），设Q（x，y），
∵，
∴，
∴（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，
化简，得（x-6）²+y²=34，
故所求的轨迹方程为（x-6）²+y²=34．
点评：本题考查椭圆的方程和点的轨迹方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．