Question

已知椭圆C的中心在原点，长轴的一个顶点坐标为（2，0），离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F₁，F₂为椭圆C的焦点，P为椭圆上一点，且PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件分别求出a，b，c的值，从而确定椭圆方程．
（2）设出p点的坐标（x₁，y₁），根据PF₁⊥PF₂，求出y₁，再根据S=

1

2

×2c•|y1|求面积．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知a=2， 

c

a

=

3

2

所以，a=2， c=

3

， b=1，椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1
（2）设P（x₁，y₁），由已知PF₁⊥PF₂，所以

PF1

•

PF2

=0，
即(-

3

-x1，-y1)•(

3

-x1，-y1)=0，x₁²+y₁²=3，
又因为

x 2 1

4

+

y

2 1

=1
解得y1=±

3

3

，所以，△PF₁F₂的面积S=

1

2

×2c•|y1|=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程求法以及根据一些性质求面积，用到数形结合思想，这是高中数学的一种重要思想．