Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线和曲线的直角坐标方程；

（2）若点坐标为，直线与曲线交于两点，且，求实数的值．

Answer 1

【答案】（1），.（2）或.

【解析】

（1）根据参数方程，消参后可得直线直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标方程转化关系，即可得曲线的直角坐标方程；

（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，并设两点对应参数为，，即可由韦达定理及求得的值．

（1）直线的参数方程为（为参数），

直线直角坐标方程为，

将，，代入即得，

曲线的直角坐标方程为.

（2）将代入，化简得，

由判别式得，

设两点对应参数为，，

则，，

依题意有，即，

代入解得或，均满足，

所以实数的值为或.