Question

【题目】已知函数．

（1）若在单调递增，求的值；

（2）当时，设函数的最小值为，求函数的值域．

Answer 1

【答案】（1）．（2）

【解析】

（1）对函数进行求导得，由在单调递增，得，即 ，利用分析法，对进行分类讨论，即可得答案；

（2）利用隐零点法求出函数最小值为，得，利用导数研究函数令，的值域，即可得答案；

（1）．

因为在单调递增，所以，即

（i）当时，，则需，故，即；

（ii）当时，，则；

（iii）当时，，则需，故，即．

综上述，．

（2）．

因为，所以，所以在单调递增

又因为，

所以存在，使，

且当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

故最小值为．

由，得，因此．

令，则，

所以在区间上单调递增．

又因为，且，

所以，即取遍的每一个值,

令，

则，

故函数在单调递增．

又，所以，故函数的值域为．