Question

【题目】已知椭圆，直线交椭圆于两点，为坐标原点．

（1）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；

（2）椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在

【解析】

（1）根据直线过右焦点求出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出或，利用面积公式即可得解；

（2）设中点，联立直线与椭圆方程，根据四边形为平行四边形，根据韦达定理求得，进而求得求出点的坐标，代入椭圆方程，可得，即可求得答案．

（1）设，．

直线过椭圆的右焦点，则，

∴直线的方程为．

联立得，

解得或．

∴的面积为．

（2）设中点．

联立得，

∴，

解得．

由韦达定理得，．

∵，

∴．

假设椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，

则，且，

即．

又点在椭圆上，将其代入椭圆方程，

解得，满足，且．

综上所述，存在，使得四边形为平行四边形．