Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，，n=2，3，4，…．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）设，n=1，2，3…，求证：数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式；
（Ⅲ）对任意的m≥2，m∈N^*，在数列{a_n}中是否存在连续的2^m项构成等差数列？若存在，写出这2^m项，并证明这2^m项构成等差数列；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设条件可知a₂=1+2a₁=3，，a₄=1+2a₂=7，．
（Ⅱ）由题意知，又，所以b_n+1=2b_n．再由可知b_n=2ⁿ．
（Ⅲ）对任意的m≥2，k∈N^*，在数列{a_n}中，这连续的2^m项就构成一个等差数列．再用分析法进行证明．
解答：解：（Ⅰ）因为a₁=1，所以a₂=1+2a₁=3，，a₄=1+2a₂=7，（3分）
（Ⅱ）由题意，对于任意的正整数n，，
所以（4分）
又
所以b_n+1=2b_n（6分）
又（7分）
所以{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，所以b_n=2ⁿ（8分）
（Ⅲ）存在．事实上，对任意的m≥2，k∈N^*，在数列{a_n}中，
这连续的2^m项就构成一个等差数列（10分）
我们先来证明：
“对任意的n≥2，n∈N^*，k∈（0，2^n-1），k∈N^*，有”
由（II）得，所以．
当k为奇数时，
当k为偶数时，
记
因此要证，只需证明，
其中k₁∈（0，2^n-2），k₁∈N^*
（这是因为若，则当时，则k一定是奇数，
有
=；
当时，则k一定是偶数，有
=）
如此递推，要证，只要证明，
其中，k₂∈（0，2^n-3），k₂∈N^*
如此递推下去，我们只需证明，k_n-2∈（0，2¹），k_n-2∈N^*
即，即，由（I）可得，
所以对n≥2，n∈N^*，k∈（0，2^n-1），k∈N^*，有，
对任意的m≥2，m∈N^*，，，
其中i∈（0，2^m-1），i∈N^*，
所以
又，，所以
所以这连续的2^m项，
是首项为，公差为的等差数列（13分）
说明：当m₂＞m₁（其中m₁≥2，m₁∈N^*，m₂∈N^*）时，
因为构成一个项数为的等差数列，
所以从这个数列中任取连续的项，也是一个项数为，公差为的等差数列．
点评：本题考查数列性质的综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意培养计算能力．