Question

15．对于无穷数列{T_n}，若正整数n₀，使得n≥n₀（n∈N^*）时，有T_n+1＞T_n，则称{T_n}为“n₀～不减数列”．
（1）设s，t为正整数，且s＞t，甲：{x_n}为“s～不减数列”，乙：{x_n}为“t～不减数列”．
试判断命题：“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由；
（2）已知函数y=f（x）与函数y=-$\frac{1}{x}$+2的图象关于直线y=x对称，数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），如果{a_n}为“n₀～不减数列”，试求n₀的最小值；
（3）设y_n=$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{4}{3}），（n=1）}\\{（\frac{1}{{2}^{n}}+1）cosnπ，（n≥2，n∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$，且x_n-λy_n=2ⁿ，是否存在实数λ使得{x_n}为“$\frac{1}{2}$f（f（$\frac{4}{3}$））～不减数列”？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于甲：{x_n}为“s～不减数列”?x_s＜x_s+1＜x_s+2＜…，对于乙：{x_n}为“t～不减数列”?x_t＜x_t+1＜x_t+2＜…，从而判断出“甲是乙的充分条件”是假命题．
（2）由反函数知y=f（x）=$\frac{1}{2-x}$，从而可得a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，从而可判断出a₂＜a₁，且a₂＜a₃＜a₄＜a₅＜…，从而求得．
（3）假设存在实数λ使得{x_n}为“$\frac{1}{2}$f（f（$\frac{4}{3}$））～不减数列”，解$\frac{1}{2}$f（f（$\frac{4}{3}$））=1，从而可得{x_n}是单调递增数列，故当n≥3时，x_n-x_n-1=2^n-1+（-1）ⁿλ（$\frac{3}{{2}^{n}}$+2）＞0，即（-1）ⁿλ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$，从而讨论以确定λ的取值范围．

解答 解：（1）对于甲：{x_n}为“s～不减数列”?x_s＜x_s+1＜x_s+2＜…，
对于乙：{x_n}为“t～不减数列”?x_t＜x_t+1＜x_t+2＜…，
∵s，t为正整数，且s＞t，
∴乙⇒甲，显然甲推不出乙，
故甲是乙的必要条件，从而“甲是乙的充分条件”是假命题．
（2）∵函数y=f（x）与函数y=-$\frac{1}{x}$+2的图象关于直线y=x对称，
∴函数y=f（x）与函数y=-$\frac{1}{x}$+2互为反函数，
故y=f（x）=$\frac{1}{2-x}$，
由a_n+1=f（a_n）得a_n+1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$，
由a₁=3得a₂=-1＜1，
假设a_k=＜1（k≥2），
则a_k+1=$\frac{1}{2-{a}_{k}}$＜1，
即n≥2时，a_n＜1；
于是a_n+1-a_n=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$-a_n=$\frac{（{a}_{n}-1）^{2}}{2-{a}_{n}}$＞0（n≥2），
故a₂＜a₁，且a₂＜a₃＜a₄＜a₅＜…，
故n₀的最小值为2．
（3）假设存在实数λ使得{x_n}为“$\frac{1}{2}$f（f（$\frac{4}{3}$））～不减数列”，
∵$\frac{1}{2}$f（f（$\frac{4}{3}$））=1，∴{x_n}是单调递增数列，
∵cosnπ=（-1）ⁿ，且f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{3}{2}$，
∴y_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}，n=1}\\{（-1）^{n}（\frac{1}{{2}^{n}}+1），n≥2}\end{array}\right.$，
又∵x_n=2ⁿ+λy_n，
故当n≥3时，x_n-x_n-1=2^n-1+（-1）ⁿλ（$\frac{3}{{2}^{n}}$+2）＞0，（-1）ⁿλ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$，
若n为大于或等于4的偶数，则有λ＞-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$恒成立，
故λ＞（-$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$）_max=-$\frac{{2}^{4-1}}{\frac{3}{{2}^{4}}+2}$=-$\frac{128}{35}$，故λ＞-$\frac{128}{35}$，
若n为大于或等于3的奇数，则有λ＜$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$恒成立，故λ＜（$\frac{{2}^{n-1}}{\frac{3}{{2}^{n}}+2}$）_min=$\frac{{2}^{3-1}}{\frac{3}{{2}^{3}}+2}$=$\frac{32}{19}$，故λ＜$\frac{32}{19}$，
又当n=2时，x₂-x₁=（4+$\frac{5}{4}$λ）-（2+$\frac{3}{2}$λ）＞0，故λ＜8；
综上可知，λ的取值范围为（-$\frac{128}{35}$，$\frac{32}{19}$）．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及学生学习能力，同时考查了数学归纳法的应用．