Question

17．已知关于x的不等式|2x-m|≤x+1的解集为[1，5]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若实数a，b满足a+b=m，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉绝对值符号，利用条件求m的值；
（Ⅱ）若实数a，b满足a+b=m，利用基本不等式求a²+b²的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵|2x-m|≤x+1
∴-x-1≤2x-m≤x+1，
∴$\frac{1}{3}$（m-1）≤x≤m+1，
∵不等式|2x-m|≤x+1的解集为[1，5]．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m-1=3}\\{m+1=5}\end{array}⇒m=4}\right.$，
（Ⅱ）${a^2}+{b^2}≥\frac{{{{（a+b）}^2}}}{2}≥\frac{16}{2}$=8
当且仅当a=b时，取等号，
∴a²+b²的最小值为8．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式的运用，属于中档题．