Question

2．如图，ABC-A₁B₁C₁是底面边长为2，高为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C₁P=λC₁A₁（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）证明：PQ∥A₁B₁；
（Ⅱ）当$λ=\frac{1}{2}$时，求点C到平面APQB的距离．

Answer 1

分析 （I）由平面ABC∥平面A₁B₁C₁，利用线面平行的性质定理可得：AB∥PQ，又AB∥A₁B₁，即可证明PQ∥A₁B₁．
（II）建立如图所示的直角坐标系．设平面APQB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，利用点C到平面APQB的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 证明：（I）∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，平面ABC∩平面ABQP=AB，平面ABQP∩平面A₁B₁C₁=QP，
∴AB∥PQ，
又∵AB∥A₁B₁，
∴PQ∥A₁B₁．
解：（II）建立如图所示的直角坐标系．
∴O（0，0，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（0，1，0），B（-$\sqrt{3}$，0，0），C（0，-1，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，-2，0），
设平面APQB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=$（1，-\sqrt{3}，-2）$，
∴点C到平面APQB的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直平行判定与性质定理、等边三角形的性质、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．