Question

8．已知四边形ACED和四边形CBFE都是矩形，且二面角A-CE-B是直二面角，AM垂直CD交CE于M．
（1）求证：AM⊥BD；
（2）若AD=$\sqrt{6}$，BC=1，AC=$\sqrt{3}$，求二面角M-AB-C的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出EC⊥AC，EC⊥BC，AC⊥BC，BC⊥AM，由此能证明AM⊥BD．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AB-C的大小．

解答 证明：（1）∵四边形ACED和四边形CBFE都是矩形，
∴EC⊥AC，EC⊥BC，
又AC∩BC=C，∴EC⊥平面ACB，
∵二面角A-CE-B是直二面角，∴AC⊥BC，
∵AC∩EC=C，∴BC⊥平面ACED，
∵AM?平面ACED，∴BC⊥AM，
∵AM垂直CD交CE于M，BC∩CD=C，
∴AM⊥平面BCD，
∵BD?平面BCD，∴AM⊥BD．
解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），D（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{6}$），设M（0，0，t），
$\overrightarrow{AM}$=（-$\sqrt{3}$，0，t），$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{CD}$=（$\sqrt{3}，0，\sqrt{6}$），
∵AM⊥平面BCD，∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{CD}=-3+\sqrt{6}t=0}\end{array}\right.$，解得t=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．∴M（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
$\overrightarrow{AM}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}，1，0$），
设平面ABM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-\sqrt{3}x+\frac{\sqrt{6}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3，$\sqrt{6}$），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角M-AB-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{18}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角M-AB-C的大小为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．