Question

若（x+2）ⁿ=xⁿ+…+ax³+bx²+cx+2ⁿ（n∈N，且n≥3），且a：b=3：2，则n=______．

Answer 1

∵已知 （x+2）ⁿ=xⁿ+…+ax³+bx²+cx+2ⁿ（n∈N，且n≥3），
又 （x+2）ⁿ=（2+x）ⁿ =

C

0n

•2n•x0+

C

1n

•2n-1•x1+

C

2n

•2n-2•x2+

C

3n

•2n-3•x3+…+

C

nn

•20•xn，
∴a=

C

3n

• 2n-3，b=

C

2n

• 2n-2．
再由 a：b=3：2，可得

C 3n • 2n-3

C 2n • 2n-2

=

n! 3!(n-3)! • 2n 23

n! 2!(n-2)! • 2n 22

=

n-2

6

=

3

2

，解得n=11，
故答案为 11．