Question

（2005•上海）若（x+2）ⁿ=xⁿ+…+ax³+bx²+cx+2ⁿ（n∈N，且n≥3），且a：b=3：2，则n=

11

．

Answer 1

分析：按照二项式定理把（x+2）ⁿ 展开，再和已知条件作对照，求出a、b的解析式，再由a：b=3：2，求得n的值．

解答：解：∵已知 （x+2）ⁿ=xⁿ+…+ax³+bx²+cx+2ⁿ（n∈N，且n≥3），
又 （x+2）ⁿ=（2+x）ⁿ =

C

0 n

•2n•x0+

C

1 n

•2n-1•x1+

C

2 n

•2n-2•x2+

C

3 n

•2n-3•x3+…+

C

n n

•20•xn，
∴a=

C

3 n

• 2n-3，b=

C

2 n

• 2n-2．
再由 a：b=3：2，可得

C 3 n • 2n-3

C 2 n • 2n-2

=

n! 3!(n-3)! • 2n 23

n! 2!(n-2)! • 2n 22

=

n-2

6

=

3

2

，解得n=11，
故答案为 11．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．