Question

已知m∈R，命题p：对于任意x∈[0，8]，不等式log 

1

3

（x+1）≥m²-3恒成立；命题q：对任意x∈R，不等式|1+sin2x-cos2x|≤2m|cos（x-

π

4

）|恒成立．
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先将命题p，q为真时的m的范围为求出来，然后再进一步求解即可．

解答： 解：（1）对于任意x∈[0，8]，不等式log 

1

3

（x+1）≥m²-3恒成立，
令f（x）=log 

1

3

（x+1），x∈[0，8]．显然该函数是减函数，所以f（x）_min=f（8）=-2．
所以要使原式成立，只需m²-3≤-2，即m²-3+2≤0，解得1≤m≤2．
（2）对于q，因为1+sin2x-cos2x=2sinxcosx+2sin²x=2sinx（cosx+sinx）=2sinx•

2

cos(x-

π

4

)．
当cos(x-

π

4

)=0时，原式显然成立．
当cos(x-

π

4

)≠0时，原式可化为m≥

2

|sinx|．
要使原式恒成立，只需m≥

2

即可．
因为“p且q为假，p或q为真”，故p，q一真一假，
所以

1≤m≤2 m＜ 2

或

m＜1或m＞2 m≥ 2

，解得m＞2或1≤m＜

2

．

点评：本题考查了复合命题真假的判断方法，要注意“或命题”“且命题”的区别与联系．