Question

抛物线y²=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线交抛物线于A、B两点．
（1）求线段AB中点的轨迹方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交对称轴于点N（x₀，0），求证：x₀＞

3

2

；
（3）若直线l的斜率依次取

1

2

，(

1

2

)2，…(

1

2

)n时，线段AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点依次是N₁，N₂，…，N_n，求S=

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

|NnNn+1|

．

Answer 1

分析：（1）先求出抛物线的准线方程得到点M的坐标，再设直线方程与抛物线联立结合违达定理即可求出线段AB中点的轨迹方程；（注意范围的限制）
（2）先求出线段AB的垂直平分线方程，进而得到点N的坐标，根据实数k的范围限制即可证明结论；
（3）先求出数列的通项，发现其是以

1

12

首项，以

1

4

为公比的等比数列，再代入等比数列的求和公式即可．

解答：解：（1）抛物线的准线方程为x=-p，
∴M（-p，0），
设l方程为y=k（x+p）（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P（x，y）得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，A，B在y²=4px上得：y₁²=4px₁，
y₂²=4px₂，显然AB斜率k存在，两式相减得：k=

y2-y1

x2-x1

=

4p

y1+y2

=

2p

y

，
又A，B，M，P共线得其斜率也可表示为k=

y

x+p

=

2p

y

，
即得y²=2px+2p²，（p＞0，x＞0），即为AB中点P轨迹方程．
（2）证明：线段AB的垂直平分线方程为y-

1

k

=-

1

k

[x-(

2

k2

-1)

1

2

]，令y=0，
N （x₀，0）的横标x0=(

2

k2

+1)

1

2

， ∵0＜k2＜1， ∴(

2

k2

+1)

1

2

＞

3

2

， ∴x0＞

3

2

．
（3）当直线l的斜率kn=(

1

2

)n时，
Nn((

2

( 1 2 )n

+1)

1

2

，0)， ∵|NnNn+1|=|xn+1-xn|
=|(

2

( 1 2 )2n+2

+1)

1

2

-(

2

( 1 2 )2n+1

)

1

2

|=

2(1- 1 4 2)

( 1 2 )2n+1

， ∴

1

|NnNn+1|

=

2( 1 2 )2n+1

3

=

1

12

(

1

4

)n-1， ∴

1

|NnNn+1|

是以

1

12

为首项，以

1

4

为公比的等比数列，
∴S=

1

|N1N2|

+

1

|N2N3|

+…+

1

|NnNn+1|

=

1 12 (1-( 1 4 )n)

1- 1 4

=

1

9

（1-(

1

4

)n）．

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用．本题的易错点在于忘记考虑参数的范围，从而得到错误答案．准线为方程：x=-p，则M（-p，0）