Question

已知抛物线y²=4px（p＞0），弦AB过焦点F，设|AB|=m，三角形AOB的面积为S，则S²=

mp³

（用含有m，p的式子表示）．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB所在直线的方程为y=k（x-p），与抛物线y²=4px联解，并结合一元二次方程根与系数的关系，得y₁y₂=-4p²．根据抛物线的定义，得|AB|=x₁+x₂+2p=m，结合抛物线方程化出y₁²+y₂²=4mp-8p²，可得|y₁-y₂|=

4mp

．最后根据三角形面积公式，得S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

2

p

4mp

，进而得到本题的答案．

解答：解：∵抛物线y²=4px的焦点为F（p，0）
∴设弦AB所在直线的方程为y=k（x-p），（k≠0）
与抛物线y²=4px联解，得ky²-4py-4kp²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系得y₁y₂=-4p²．
根据抛物线的定义，得|AB|=x₁+x₂+2p=m
∴x₁+x₂=

1

4p

y₁²+

1

4p

y₂²=m-2p，得y₁²+y₂²=4p（m-2p）=4mp-8p²．
由此可得|y₁-y₂|²=（y₁²+y₂²）-2y₁y₂=4mp-8p²-（-8p²）=4mp
∴S_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

2

p

4mp

因此，可得S²_△AOB=

1

4

p²•4mp=mp³，即S²=mp³
故答案为：mp³

点评：本题给出抛物线过焦点的弦AB的长度，求△AOB面积的表达式，着重考查了抛物线的简单性质和直线与抛物线关系等知识，属于中档题．