Question

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x）．当x∈（0，1）时有：．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性并用定义证明．

Answer 1

解：（1）设x∈（-1，0）则-x∈（0，1）
∵?x∈R，f（-x）=-f（x），且x∈（0，1）时，，
∴x∈（-1，0）时，有..（3分）
在f（-x）=-f（x）中，令x=0，f（-0）=-f（0）?f（0）=0．（5分）
综上：当x∈（-1，1）时，有：（7分）
（2）f（x）在（0，1）上是减函数（8分）
证明：设0＜x₁＜x₂＜1则x₂-x₁＞0，0＜x₁+x₂＜2，∴．（10分）
∴（13分）
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，1）上是减函数（14分）
分析：（1）设x∈（-1，0）则-x∈（0，1）结合f（-x）=-f（x），及x∈（0，1）时，，可求x∈（-1，0）时得f（x），在f（-x）=-f（x）中可求f（0）=0
（2）利用函数的单调性的定义证明即可
点评：本题主要考查了利用函数的性质求解函数的解析式，解题中不要漏掉x=0时的函数得解析式，利用函数的单调性的定义证明函数得单调性．