Question

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列{a_n}是递增数列
B．数列{a_n}是递减数列
C．数列{a_n}是常数列
D．数列{a_n}有可能是递增数列也有可能是递减数列

Answer 1

【答案】分析：由条件利用等比数列的定义和性质可得 +=2 ，设公比为q，则得 q⁴+q⁸=2q⁶，求得 q²=1，q=1，由此得出结论．
解答：解：各项均为正数的等比数列{a_n}中，∵ 成立，即 a₁a₅+a₁a₇+a₃a₅+a₃a₇=4成立．
利用等比数列的定义和性质化简可得 +++=4，进一步化简得 +=2 ．
设公比为q，则得 q⁴+q⁸=2q⁶，化简可得 1+q⁴=2q²，即 （q²-1）²=1，
∴q²=1，故q=1．（由于各项均为正数的等比数列，故q=-1舍去）
故此等比数列是常数列，
故选 C．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，求得 q²=1，是解题的关键，属于中档题．