Question

【题目】已知函数．

讨论函数的极值点的个数；

若函数有两个极值点，，证明：．

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2)见解析

【解析】

先求出函数的导函数，通过讨论a的范围确定导函数的符号，从而得出函数的单调区间，进而判断函数极值点个数；

由可知当且仅当时有极小值和极大值，且，是方程的两个正根，则，根据函数表示出，令，通过对求导即可证明结论．

解：函数，

，

，当时，，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，有极小值；

当时，，故，

在上单调递减，故此时无极值；

当时，，方程有两个不等的正根，．

可得，．

则当及时，

，单调递减；

当时， ；单调递增；

在处有极小值，在处有极大值．

综上所述：当时，有1个极值点；

当时，没有极值点；

当时，有2个极值点．

由可知当且仅当时有极小值点

和极大值点，且，是方程的两个正根，

则，．

；

令，

；，

在上单调递减，故，

．