题目内容
【题目】如图，已知四棱锥
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是
的中点．
（1）求证：直线
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中点
，连接
、
，通过证明四边形
为平行四边形得出
，再利用线面平行的判定定理可得出结论；
（2）以
为原点，
、
、过D且垂直底面的直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，设
，根据已知条件求出点
的坐标，可得出点
的坐标，然后利用空间向量法可求出直线
与平面
所成角的正弦值．
（1）取的中点，连接、，
根据中位线定理，
，且
，
又
，所以
，
，则四边形为平行四边形，
，
平面
，
平面，
平面；
（2）以为原点，、、过D且垂直底面的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
设，则
、
、
、
，设
，
由
，
，
，
上面联立解方程组得
，
，
，
故点
，所以
，得到
，
平面的法向量为
，由
.
故直线与平面所成角的正弦值为．
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