Question

已知函数f（x）=-x²+2ax-1，x∈[-2，2]，
（1）当a=1时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使函数f（x）在[-2，2]上是减函数；
（3）求函数f（x）的最大值g（a），并求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）将a代入，再配方，求得其对称轴，再求最值．
（2）先对函数配方，求出其对称轴，根据条件来研究对称轴与区间的位置关系．
（3）在（2）的基础上，分三种情况，一是对称轴在区间的左侧，二是对称轴在区间的右侧，三是对称轴在区间的之间，求得最值．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²，
∵-2≤x≤2
∴f（x）_min=f（-2）=-9，f（x）_max=
f（1）=0
（2）∵f（x）=-x²+2ax-1=-（x-a）²+a²-1
∴当x≥a时，f（x）为减函数，
当x≤a时，f（x）为增函数
∴要使f（x）在[-2，2]上为减函数，
则[-2，2]⊆[a，+∞），
解得：a≤-2，
∴a的取值范围是（-∞，-2]
（3）由f（x）=-x²+2ax-1=-（x-a）²+a²-1（-2≤x≤2）
∴当-2≤a≤2时，g（a）=f（a）=a²-1
当a＜-2时，g（a）=f（-2）=-4a-5
当a＞2时，g（a）=f（2）=4a-5
∴g（a）=

-4a-5 (a＜-2) a2-1 (-2≤a≤2) 4a-5 (a＞2)

∴当-2≤a≤2时，g（a）=a²-1，
∴-1≤g（a）＜3
当a＞2时，g（a）=4a-5，
∴g（a）＞3
当a＜-2时，g（a）=-4a-5，
∴g（a）＞3
综上得：g（a）≥-1
∴g（a）的最小值为-1，此时a=0．

点评：本题主要考查二次函数的单调性与最值，这类题目的关键是明确开口方向，再研究对称轴与给定区间的位置关系，从而明确单调性，求得最值．