Question

已知等比数列{b_n}与数列{a_n}满足bn=3an，n∈N*
（1）判断{a_n}是何种数列，并给出证明；
（2）若a₈+a₁₃=m，求b₁b₂…b₂₀．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{b_n}的公比为q，根据等比数列的通项公式，可得bn=3an=3a1×qn-1，两边取以3为底的对数，可得数列{a_n}的通项公式，从而得到数列{a_n}是以log₃q为公差的等差数列．
（2）根据等差数列的性质，得到a₁+a₂₀=a₈+a₁₃=m，从而得到数列{a_n}的前20项的和为10（a₁+a₂₀）=10m，再由bn=3an，得到b₁b₂…b₂₀的值．

解答：解：（1）设等比数列{b_n}的公比为q，
∵bn=3an，n∈N*
∴3an=3a1×qn-1，可得a_n=a₁+（n-1）log₃q
∴a_n+1=a₁+nlog₃q，a_n+1-a_n=log₃q（常数），
∴数列{a_n}是以log₃q为公差的等差数列．
（2）∵a₈+a₁₃=m，
∴由等差数列性质得a₁+a₂₀=a₈+a₁₃=m
∴数列{a_n}的前20项的和为：a1+a2+…+a20=

(a1+a20)×20

2

 =10m
∴b1b2…b20=3a1+a2+…+a20=310m

点评：本题以指数、对数运算为载体，考查了等差数列的定义与性质、等比数列的通项公式和等差数列与等比数列间的关系等知识点，属于基础题．