Question

已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n=1，2，3，…），它的前n项和为S_n，且a₃=5，S₆=36．
（1）求a_n；
（2）已知等比数列{b_n}满足b₁+b₂=1+a，b₄+b₅=a³+a⁴（a≠-1），设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2判断出数列{a_n}是等差数列，将a₃=5，S₆=36用基本量表示得到关于首项、公差的方程组，求出首项、公差，利用等差数列的通项公式求出a_n；
（2）将b₁+b₂=1+a，b₄+b₅=a³+a⁴两个式子作商求出公比，利用等比数列的通项公式求出通项，由于a_nb_n=（2n-1）a^n-1．所以利用错位相减的方法求出数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n．

解答：解：（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
则数列{a_n}是等差数列．                 …（2分）
∴

a1+2d=5 6a1+15d=36.

⇒

a1=1 d=2.

因此，a_n=2n-1．                    …（5分）
（2）设等比数列{b_n}的公比为q，
∵q3=

b4+b5

b1+b2

=

a3+a4

1+a

=a3，
∴q=a．
由b₁+b₂=1+a，得b₁（1+a）=1+a．
∵a≠-1，
∴b₁=1．
则b_n=b₁q^n-1=a^n-1，a_nb_n=（2n-1）a^n-1．   …（7分）
T_n=1+3a+5a²+7a³+…+（2n-1）a^n-1…①
当a≠1时，aT_n=a+3a²+5a³+7a⁴+…+（2n-1）aⁿ…②
由①-②得（1-a）T_n=1+2a+2a²+2a³+…+2a^n-1-（2n-1）aⁿ
=

2(1-an)

1-a

-1-(2n-1)an，
Tn=

2(1-an)

(1-a)2

-

1+(2n-1)an

1-a

．       …（10分）
当a=1时，T_n=n²．                 …（12分）

点评：求睡了的前n项和问题，应该先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法进行计算．注意若等比数列的公比是字母，要分类讨论．