Question

4．若平面向量$\overrightarrow{a}$与平面向量$\overrightarrow{b}$的夹角等于$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，则2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为-$\frac{1}{26}$．

Answer 1

分析 根据平面向量数量积的应用，求出两向量的模长以及夹角的余弦值即可．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角等于$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2×3cos$\frac{π}{3}$=3；
∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2${\overrightarrow{b}}^{2}$
=2×2²+3×3-2×3²
=-1；
∴|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{4{×2}^{2}-4×3{+3}^{2}}$
=$\sqrt{13}$，
|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+4\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{{2}^{2}+4×3+4{×3}^{2}}$
=2$\sqrt{13}$；
设2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则
cosθ=$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）}{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|×|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{13}×2\sqrt{13}}$=-$\frac{1}{26}$；
期2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为-$\frac{1}{26}$．
故答案为：-$\frac{1}{26}$．

点评 本题考查了平面向量数量积的应用问题，考查了求模长与夹角的应用问题，是基础题目．