Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）若的最小值为,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当或时,只有一个零点；当或时,有两个零点；（2）

【解析】

(1)求导因式分解可得,再分析导函数中的单调性,进而根据函数零点的大小关系判断零点的个数即可.

(2)根据(1)中所得的单调性,分与两种情况讨论,分析函数的极值点所在的区间,结合函数的单调性分析是否满足最小值为即可.

解：（1）的定义域为,

,

令,解得或,

令,则,故在上单调递增.

故.又当时.

故当或时,只有一个零点；

当或时,有两个零点.

（2）当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,则在处取得最小值,符合题意.

当时,则在上单调递增,则必存在正数使得.

若,则,在和上单调递增,在上单调递减,

又,故不符合题意

若,则,所以,在上单调递增,又,故不符合题意.

若,则,在和上单调递增,在上单调递减,

当,时,与的最小值为矛盾.

综上,的取值范围为.