Question

17．已知函数f（x）=|x-2a|+|x-a|，x∈R，a≠0
（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2
（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时$\frac{b}{a}$的范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式的解集．
（2）由条件利用绝对值三角不等式证得f（b）≥f（a），当且仅当b-2a与b-a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，再由（2a-b）（b-a）≥0，即 ${（\frac{b}{a}）}^{2}$-3$\frac{b}{a}$+2≤0，求得$\frac{b}{a}$的范围．

解答 解：（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2，即|x-2|+|x-1|＞2，
|x-2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到2、1对应点的距离之和，
而0.5和2.5对应点到2、1对应点的距离之和正好等于2，故不等式的解集为{x|x＜0.5，或 x＞2.5}．
（2）证明：∵f（x）=|x-2a|+|x-a|，
故 f（a）=f（a），f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|，
即 f（b）≥f（a），当且仅当b-2a与b-a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，
∴（2a-b）（b-a）≥0，即 3ab-2a²-b²≥0，即 ${（\frac{b}{a}）}^{2}$-3×$\frac{b}{a}$+2≤0，
求得1≤$\frac{b}{a}$≤2．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，一元二次不等式的解法，属于中档题．