Question

13．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，
（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；
（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB是直径，得∠ACB=90°，由此能证明∠BCF=∠CAB．
（Ⅱ）由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，由此利用切割线定理和勾股定理能求出⊙O半径．

解答 证明：（Ⅰ）因为AB是直径，所以∠ACB=90°
又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB
因此∠BCF=∠CAB． …（5分）
解：（Ⅱ）直线CF交直线AB于点G，
由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC
所以FA=FG，且AB=BG
由切割线定理得：（1+FG）²=BG×AG=2BG²…①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²…②
由①、②得：FG²-2FG-3=0
解之得：FG₁=3，FG₂=-1（舍去）
所以AB=BG=2$\sqrt{2}$，
所以⊙O半径为$\sqrt{2}$．…（10分）

点评 本题考查两角相等的证明，考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．