Question

函数f（x）=2x-

a

x

的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）当a=-2时，求函数y=f（x）的最小值；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（3）求函数y=f（x）在x∈（0，1）上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．

Answer 1

分析：（1）a=-2时易判断y=f（x）在（0，1]上的单调性，根据单调性可得f（x）的最小值；
（2）由y=f（x）在定义域上是减函数，知任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，即（x₁-x₂）（2+

a

x1x2

）＞0，转化为恒成立问题即可解决；
（3）分三种情况进行讨论：①当a≥0时，易知f（x）在（0，1]上单调递增，可得函数最值；②由（2）得当a≤-2时，y=f（x）在（0，1]上单调递减，可得函数最值；③当-2＜a＜0时，通过研究单调性可得函数最值；

解答：解：（1）函数y=f（x）=2（x+

1

x

）在（0，1]上单调递减，
∴y=f（x）的最小值为f（1）=4；
（2）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，
则任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，即（x₁-x₂）（2+

a

x1x2

）＞0，
只要a＜-2x₁x₂即可，
由x₁，x₂∈（0，1]，得-2x₁x₂∈（-2，0），所以a≤-2，
故a的取值范围是（-∞，-2]；
（3）①当a≥0时，函数y=f（x）在（0，1]上单调递增，无最小值，
当x=1时取得最大值2-a；
②由（2）得当a≤-2时，函数y=f（x）在（0，1]上单调递减，无最大值，
当x=1时取得最小值2-a；
③当-2＜a＜0时，函数y=f（x）在（0，

-2a

2

]上单调递减，在[

-2a

2

，1]上单调递增，无最大值；
当x=

-2a

2

时取得最小值2

-2a

．

点评：本题考查函数单调性的判断及其应用，考查函数最值的求解，考查分类讨论思想．