Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}\right.$（θ为参数，a＞0）和曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）若两曲线有一个公共点在y轴上，求a的值；
（Ⅱ）当a=2时，判断两曲线的交点个数．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}\right.$（θ为参数，a＞0），利用配方关系化为普通方程．曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为y=-2x+4．与y轴相交于点（0，4）．根据两曲线有一个公共点在y轴上，解得a．
（II）当a=2时，曲线C₁的方程为：x²+y²=4．圆心C₁（0，0），半径r=2．求出圆心到直线的距离与半径比较健康判断出位置关系与交点个数．

解答 解：（I）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2sinθ}\\{y=acosθ}\end{array}\right.$（θ为参数，a＞0）化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1．
和曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=2-2t}\end{array}\right.$（t为参数）化为y=-2x+4，与y轴相交于点（0，4）．
∵两曲线有一个公共点在y轴上，∴0+$\frac{{4}^{2}}{{a}^{2}}$=1．a＞0，解得a=4．
（II）当a=2时，曲线C₁的方程为：x²+y²=4．圆心C₁（0，0），半径r=2．
圆心C₁（0，0）到直线C₂的距离d=$\frac{4}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$＜2．
∴直线C₂与曲线C₁相交，交点个数为2．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．