Question

11．已知函数f（x）=x²sin$\frac{πx}{2}$，数列{a_n}中，a_n=f（n）-f（n+1）（n∈N^*），则数列{a_n}的前100项之和S₁₀₀=-10200．

Answer 1

分析 由f（x）=x²sin$\frac{πx}{2}$，可得a_n=f（n）+f（n+1）=n²sin$\frac{nπ}{2}$-（n+1）²sin$\frac{（n+1）π}{2}$，分别求出a_4n-3，a_4n-2，a_4n-1，a_4n，再利用“分组求和”方法即可得出．

解答 解：∵数f（x）=x²sin$\frac{πx}{2}$，
∴a_n=f（n）+f（n+1）=n²sin$\frac{nπ}{2}$-（n+1）²sin$\frac{（n+1）π}{2}$，
a_4n-3=（4n-3）²sin$\frac{4n-3}{2}$π+（4n-2）²sin $\frac{4n-2}{2}$π=（4n-2）²，
同理可得：a_4n-2=-（4n-2）²，a_4n-1=（4n）²，a_4n=-（4n）²．
∴a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=-2（4n-2）²+2（4n）²=-8（4n-1）．
∴数列{a_n}的前100项之和S₁₀₀=-8×（3+7+…+99）=-10200．
故答案是：-10200．

点评 本题考查了数列“分组求和”方法、分类讨论方法、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．