Question

12、如图，已知平面α、β，且α∩β=l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β．求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．

Answer 1

分析：证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．

解答：证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，
∴AB，CD必定相交于一点．
如图，设AB∩CD=M．
又∵AB?α，CD?β，
∴M∈α，且M∈β，
∴M∈α∩β．
又∵α∩β=l，∴M∈l，
即AB，CD，l共点

点评：所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．（1）证明三线共点的依据是公理3．（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题．实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理．