Question

数列{a_n}的前n项和Sn=n2+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

an•an+1

(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用n≥2时a_n=s_n-s_n-1求出a_n（n≥2）的表达式然后利用a₁=s₁求出a₁然后看其是否适合a_n（n≥2）的表达式，若适合则两则合二为一，若不适合则写成分段函数的形式．
（1）根据（1）可得b_n=

1 6                              n=1 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 )   n≥2

再代入T_n=b₁+b₂+…+b_n即可得解．

解答：解：（1）由已知：当n=1时a₁=s₁=2
当n≥2时a_n=s_n-s_n-1=2n-1
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=

2          n=1 2n-1  n≥2

（2）由（1）知：b_n=

1 6                              n=1 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 )   n≥2

当n=1时T1=b1=

1

6

当n≥2时
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

6

+2（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

3

-

1

4n+2

∴数列{b_n}的前n项和T_n=

1

3

-

1

4n+2

点评：本题主要考查了数列通项公式的求解以及数列的求和，属常考题，较难．解题的关键是对于已知s_n求a_n需利用an=

s1                 n=1 sn-sn-1   n≥2

进行求解，而对于数列{b_n}的前n项的求解方法--裂项相消法要引起以后学习的注意！